W 1910 roku rozpoczął studia pod kierunkiem Józefa Pankiewicza w Akademii Sztuk Pięknych w Krakowie. W tym czasie poznał Mojżesza Kislinga, Jana Hrynkowskiego i Szymona Mondzaina. W 1912 roku wyjechał do Paryża, gdzie szybko odnalazł się w środowisku artystycznym. Utrzymywał kontakty między innymi z Amedeo Modiglianim, Guillaume’em Apollinaire’em, Markiem Chagallem, Fernandem Légerem oraz Robertem Delaunayem. Podczas I wojny światowej przebywał w Hiszpanii, gdzie spotkał Pankiewicza i Władysława Jahla. Po śmierci Modiglianiego w 1920 roku Zawadowski przejął jego pracownię. Należał do Towarzystwa Artystów Polskich w Paryżu i do krakowskiego Cechu Artystów Plastyków „Jednoróg”. Twórczość malarza prezentowana była na paryskich salonach, a także na wystawach w Berlinie, Kolonii, Düsseldorfie i Monachium. Od 1938 roku kierował paryską filią krakowskiej Akademii Sztuk Pięknych. W jego twórczości można dostrzec wpływy Józefa Pankiewicza i Paula Cézanne’a. Malował pejzaże, kompozycje figuralne i martwe natury. We Francji sygnował swoje prace skróconym nazwiskiem Zawado.