We wczesnym dzieciństwie, po śmierci matki, przeniósł się wraz z ojcem do Warszawy. W wieku dwunastu lat wyjechał ponownie do rodzinnego Czutowego, a dwa lata później rozpoczął edukację artystyczną w Szkole Sztuk Plastycznych w Myrhorodzie. Wybuch wojny w 1914 roku uniemożliwił mu dalszą naukę. Wstąpił do oddziału kawalerii w Połtawie i podczas jednej z bitew został ranny. W 1919 roku wyjechał do Grecji, gdzie przez dwa lata studiował w Szkole Sztuk Plastycznych w Atenach. W 1923 roku przeniósł się na stałe do Paryża. Tam tworzył w pracowni mozaik „Gentile i Bourde”, a w 1927 roku rozpoczął współpracę z witrażystą Jeanem Gaudinem. Spotkanie to wywarło na nim ogromne wrażenie i zaowocowało zauroczeniem techniką witrażu. W latach dwudziestych Eleszkiewicz powrócił do malarstwa. Tworzył ekspresyjne pejzaże i sceny rodzajowe ukazujące prowincjonalne miasta i ludzi biednych, doświadczonych przez los. Niektóre z jego kompozycji mają charakter symboliczny, zbliżają się wręcz do surrealizmu. Cechy charakterystyczne jego twórczości to zamaszysty, zdecydowany rysunek, ciemne barwy i masywne formy otoczone wyraźnym konturem. Artysta zaprojektował wiele mozaik, był wybitnym rysownikiem i autorem witraży dla kościołów we Francji. W latach dwudziestych odbyły się ważne wystawy prac Eleszkiewicza w Art du Montparnasse i w Drouot-Provence. Po śmierci artysty prezentowano jego dzieła we Francji, a także w Lipert Gallery (1986) w Nowym Jorku.